Выражение гамбургский счёт введено в русский литературный язык Виктором Шкловским, выпустившим в 1928 году одноименный сборник рассказов. Процитируем Шкловского:

Гамбургский счёт — чрезвычайно важное понятие.Все борцы, когда борются, жулят и ложатся на лопатки по приказанию антрепренёра.
Раз в году в гамбургском трактире собираются борцы.
Они борются при закрытых дверях и завешанных окнах.
Долго, некрасиво и тяжело.
Здесь устанавливаются истинные классы борцов, — чтобы не исхалтуриться.
Гамбургский счёт необходим в литературе.

Выражение зацепилось и осталось в русской литературной речи. Мало кто сегодня читает Шкловского, но образованные люди используют придуманную им идиому и в наше время, часто уже и не догадываясь о ее происхождении.

Объяснение Шкловского — это просто изящная литературная фантазия. 

На самом деле, гамбургский счет, или гамбургский способ — специальная банковская методика расчета, применявшаяся в эпоху, когда финансовые вычисления проводились вручную и были, соответственно, очень трудоемкими. Гамбургский счет позволял получить сальдо расчетов при взаимном кредитовании, например, расчитать проценты при наличии у двух банков ежедневно изменяющихся сумм на счетах "лоро" и "ностро", открытых друг у друга.

Гамбургский счет — единственный точный, но в то же время и самый трудоемкий метод расчета. На практике чаще применяли прогрессивный и регрессивный методы, значительно более простые и быстрые, но дававшие незначительные отклонения от математически точного результата.

По всей видимости, Шкловский знал правильное переносное значение данного выражения (наверное, от знакомых бухгалтеров или бизнесменов), но не имел понятия об его происхождении. Чтобы донести до читателей значение малознакомой им идиомы, он и выдумал занимательную историю про борцов.

P.S. Еще одно объяснение, появившееся в комментариях — счет серебряных талеров по условному банковскому талеру Гамбургского банка. Напомним, что Германия до второй половины 19 века — конгломерат из огромного количества независимых государств. В каждом из них своя металлическая валюта ходит по номиналу, а вот чужая рассматривается (если монет много) как слиток. В реальной жизни монеты несколько стерты, и большая их партия на вес всегда будет стоить дешевле, чем по номиналу. Но гамбургский условный талер как раз учитывает этот изъян. По гамбургскому счету на счет купца зачисляется приблизительно столько талеров, сколько от него получено монет.